MMC e MDC

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o Máximo Divisor Comum (MDC) são conceitos fundamentais da matemática que têm aplicações em diversas áreas, como álgebra, aritmética e teoria dos números. Ambos são utilizados para simplificar e comparar frações, resolver equações, entre outras aplicações.

MMC - Mínimo Múltiplo Comum

O MMC de dois ou mais números é o menor número inteiro que é múltiplo de todos eles. Para encontrar o MMC de um número inteiro, é necessário seguir esses passos:

• Decomponha os números em fatores primos;
• Identifique todos os fatores primos presentes nos números;
• Multiplique esses fatores primos, considerando o maior expoente comum a cada um deles.

Por exemplo, vamos encontrar o MMC de \(6\) e \(8\):

• Decomponha os números em fatores primos:
  \(6 = 2 \times 3\)
  \(8 = 2^3\)
• Identifique os fatores primos: \(2\) e \(3\)
• Multiplique os fatores primos considerando o maior expoente comum:
  \(MMC(6, 8) = 2^3 \times 3 = 24\)

Então, o MMC de \(6\) e \(8\) é \(24\).

MDC - Máximo Divisor Comum

O MDC é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Para encontrá-lo, podemos seguir os seguintes passos:

• Decomponha os números em fatores primos;
• Identifique todos os fatores primos presentes nos números;
• Multiplique esses fatores primos, considerando o menor expoente comum a cada um deles.

Por exemplo, vamos encontrar o MDC de \(12\) e \(18\):

• Decomponha os números em fatores primos:
  \(12 = 2^2 \times 3\)
  \(18 = 2 \times 3^2\)
• Identifique os fatores primos: \(2\) e \(3\)
• Multiplique os fatores primos considerando o menor expoente comum:
  \(MDC(12, 18) = 2^1 \times 3^1 = 6\)

Então, o MDC de \(12\) e \(18\) é \(6\).

Problemas clássicos com MMC e MDC

Simplificação de Frações

Vejamos um exemplo:

Vamos dividir \( \frac{2}{3} \) por \( \frac{4}{5} \).

Primeiro, inverta a segunda fração e transforme a divisão em uma multiplicação:

\( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} \).

Em seguida, multiplique os numeradores e os denominadores:

\( \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} \).

Agora, simplifique a fração usando o MDC de \(12\) e \(10\), que é \(2\):

\( \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).

Portanto, \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{6} \).

Soma e Subtração de Frações

Vamos calcular a soma e a subtração das seguintes frações:

Fração 1: \( \frac{1}{2} \)
Fração 2: \( \frac{1}{3} \)

Observe que os denominadores são diferentes. Uma forma de igualá-los é utilizando o MMC. Encontrando o MMC entre 2 e 3, temos: \(MMC(2, 3) = 6\)
Para igualar os denominadores, precisamos transformar as frações de modo que ambas tenham o denominador comum \(6\).
Para fazer isso, multiplicamos o numerador e o denominador de cada fração pelo fator necessário para que o denominador se torne \(6\).
No caso da Fração 1 \( \frac{1}{2} \), multiplicamos ambos o numerador e o denominador por \(3\), resultando em \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{6} \).

E para a Fração 2 \( \frac{1}{3} \), multiplicamos ambos o numerador e o denominador por \(2\), resultando em \( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{6} \).

Agora que ambas as frações têm o mesmo denominador \(6\), podemos realizar a soma e a subtração dos numeradores diretamente.

Soma: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}\)

Problema do encontro

Problema da vazão